Родился в Золотоношском уезде Полтавской губернии.
Он получил музыкальное образование в Московской консерватории, где теории музыки обучался у Петра Ильича Чайковского.
После ее окончания несколько лет работал капельмейстером в Московской опере (ныне Большой театр).
В 1888 году в качестве дирижера в составе русской оперной труппы, с успехом выступал в Берлине, Копенгагене и Праге.
С 1893 года П. А. Щуровский жил в Курске, где возглавлял музыкальный кружок, состоявший из представителей интеллигенции города. Деятельность кружка была направленную на популяризацию классической музыки: организация выступлений профессионалов, занятия музыкой, организация концертов любителей. Работа музыкального кружка отмечалась в прессе. Примечательно, что при кружке была открыта музыкальная школа. П. А. Щуровским в Курске были организованы музыкальные вечера и музыкальные утренники для детей.
П. А. Щуровский – автор 30 романсов. Он известен и как музыкальный критик - печатался в журнале «Московское обозрение» и в газете «Московские ведомости».
Пётр Андреевич являлся составителем популярного в те годы «Руководства для дирижёров», карманного музыкального справочника и «Сборника национальных гимнов всех государств света». Примечательно, что Гимн королевской семьи Сиама (ныне Таиланд), который был официальным гимном страны до 1932 года, был написан именно П. А. Щуровским.
Мы знаем, что в Таиланде до сих пор правит королевская династия. Помимо национального гимна до сих пор используется тот самый, написанный Щуровским, королевский гимн, Пхленг Санласоэн Пхра Барами (Салют монарху), исполняемый в присутствии королевской семьи и при некоторых официальных церемониях.
Похоронен на Всесвятском (Херсонском) кладбище города Курска, однако могила композитора к настоящему моменту не сохранилась.
