Родился в городе Курске в семье полкового священника. Окончил Варшавский кадетский корпус в 1915 году, затем ускоренный курс Константиновского артиллерийского училища в Петрограде. Участник 1-й мировой войны (поручик артиллерии) на германском фронте. Командовал одной из первых в русской армии зенитной батареей. Был награжден орденом Святого Станислава III степени с мечами и бантом.
С февраля 1918 по февраль 1919 года – секретарь Новоторжокского уездного исполнительного комитета Совета рабочих и крестьянских депутатов.
В феврале 1919 года был призван в Красную Армию. В сентябре 1919 года был ранен.
В 1920-1922 годах служил командиром батареи 54-го легкого артиллерийского дивизиона, переименованной в 1921 году в 2-ю вьючно-горную батарею. В июле 1922 года назначен начальником Артиллерийской школы артиллерии 2-й Кавказской стрелковой им. Степина дивизии.
В феврале 1923 года назначен помощником командира легкого артиллерийского дивизиона 2-й кавказской стрелковой имени Степина дивизии. В 1924 году поступил и в 1929 году окончил полный курс Военно-технической академии РККА имени Ф. Э. Дзержинского по артиллерийскому факультету (баллистическое отделение) в Ленинграде и был направлен в Газодинамическую лабораторию (ГДЛ), основанную в 1921 году инженером-химиком, ученым Н. И. Тихомировым. Опытно-конструкторские работы лаборатория проводила в здании Главного Адмиралтейства. В Иоанновском равелине Петропавловской крепости проводились огневые испытания ракетных двигателей. В ГДЛ вместе с Б. С. Петропавловским работали будущий известный конструктор в области жидкостных ракетных двигателей, главный конструктор двигателей первых в мире космических ракет-носителей академик В. П. Глушко, В. А. Артемьев, И. Т. Клеймёнов, Г. Э. Лангемак и другие исследователи – пионеры, положившие начало созданию ракетной техники в СССР.
В 1929–1930 годах Б. С. Петропавловский – ведущий инженер ГДЛ. В марте 1930 года был назначен начальником ГДЛ. С 1931 по 1933 год – инженер-артиллерист, ведущий инженер ГДЛ. С сентября по ноябрь 1933 года – главный инженер Ленинградского отделения Реактивного научно-исследовательского института (РНИИ), где работали С. П. Королёв, Ф. А. Цандер, М. К. Тихонравов, Ю. А. Победоносцев. Работу в ГДЛ совмещал с преподавательской деятельностью в Академии имени Ф. Э. Дзержинского.
По инициативе Б. С. Петропавловского ГДЛ переключилась с разработки активно-реактивных снарядов на бездымном порохе для штатных артиллерийских систем на создание безоткатных орудий с пусковыми устройствами в виде простых ажурных труб для стрельбы реактивными снарядами (РС). Особое значение он придавал созданию ракет дальнего действия. В историю ракетной техники Б. С. Петропавловский вошел как человек, внесший весомый вклад в коллективное дело создания знаменитых «Катюш». Под его непосредственным руководством разрабатывались ракетные снаряды на бездымном порохе калибром 82 и 132 миллиметра, послужившие прообразами впоследствии широко известных снарядов РС-82 (М-8) и РС-132 (М-13) подвижных пусковых установок залпового огня БМ-8 и БМ-13 «Катюша». С. П. Королёв называл его своим учителем наряду с К. Э. Циолковским и Ф. А. Цандером. В 1991 г. Указом Президента СССР М. С. Горбачева (21.06.1991) звание Героев Социалистического Труда посмертно было присвоено И. Т. Клейменову, Г. Э. Лангемаку, В. Н. Лужину, Б. С. Петропавловскому и Н. И. Тихомирову
Увековечение
Именем Петропавловского назван кратер на обратной стороне Луны