Родился в городе Судже Курской губернии.
Первоначальное образование Петр Котельников получил в уездном училище и в Курской гимназии. Интерес к математике у будущего ученого проявился очень рано, так еще в гимназии он с увлечением самостоятельно изучил курс сферической геометрии. В 1828 году со степенью кандидата физико-математических наук окончил математический факультет Харьковского университета. Способного выпускника направили для продолжения образования в Профессорский институт при Дерптском (ныне Тартусском) университете. Там П. И. Котельников занимался математикой, небесной механикой и астрономией. Своими успехами он выделялся среди товарищей по институту. Его диссертация «Об аналитических формулах, определяющих возмущение движения земного шара» получила высокую оценку. За этот труд автор был удостоен степени доктора философии и магистра свободных наук. Весной того же года П.И. Котельников был отправлен «для усовершенствования в науках» в Берлин, где слушал лекции признанных математиков, проявляя особый интерес к теории чисел.
Возвратившись в 1835 году на родину, П. И. Котельников получил назначение в Казанский университет. Ученый совет поручил новому преподавателю чтение аналитической механики и статики, а через два года его утвердили в звании экстраординарного профессора прикладной математики и назначили в помощь Н. И. Лобачевскому преподавать алгебру и дифференциальное исчисление, а позже был назначен деканом физико-математического факультета.
П. И. Котельников в Казанском университете был заслуженным профессором математики, деканом физико-математического факультета, членом испытательного комитета, неоднократно исполнял обязанности ректора, участвовал в составлении программы для высших учебных заведений и гимназий, состоял членом различных обществ, комитетов, советов и комиссий, вел большую просветительную работу.
Похоронен в Казани.