Родился в селе Кульбаки Рыльского уезда Курской губернии (ныне – Глушковский район Курской области).
В 1923 году окончил среднюю школу в городе Дмитриеве Курской области. Работал в местном музее, на Старо-Першинской биологической станции Московского общества испытателей природы. В 1930 году окончил Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова. С 1934 года – старший научный сотрудник Зоологического музея МГУ. Ученая степень кандидата биологических наук ему была присуждена в 1938 году без защиты диссертации. К 1941 г. им была опубликована 41 работа.
Участник Великой Отечественной войны. Сражался командиром оружейного расчета 975 артиллерийского полка 8 дивизии. В октябре 1941 года под Калугой часть, в которой воевал сержант Н. Гладков, была окружена, он и его однополчане оказались в плену. В 1944 году английское командование переправило освобожденных пленных красноармейцев, и в их числе Н. А. Гладкова через Северное и Баренцево моря в СССР. Доставленный 7 ноября 1944 года в Мурманск Н. А. Гладков был определен в военно-строительный батальон.
По возвращении в Москву он возобновил ученые занятия и работу над докторской диссертацией. В разные годы Н. А. Гладков был заведующим орнитологическим отделом Зоологического музея (1947–1954), директором Зоологического музея (1964–1969), деканом географического факультета, заместителем декана биологического факультета Московского университета, заместителем председателя Всероссийского общества охраны природы, председателем научно-методического совета Общества «Знание» РСФСР. Он автор около 300 работ. Он один из главных, вместе с профессором Г. П. Дементьевым, руководителем авторского коллектива, 6-томного издания «Птицы Советского Союза». Книги и статьи Н. А. Гладкова печатались в Англии, Франции, США, ФРГ, ГДР, в Польше, Болгарии, Чехословакии и Китае (всего более тридцати публикаций). В 1960–1970 годы Н. А. Гладков большое внимание уделял разработке научных основ теории охраны природы и одним из первых в отечественной науке успешно занялся исследованием особенностей воздействия научно-технического прогресса на состояние природной среды и запасы природных ресурсов.
В 1952 году был удостоен Сталинской премии.