Уроженец г. Рыльска. Окончил Морской кадетский корпус (1901), минный офицерский класс (1909), Морскую академию (1914). На военной службе с 1898 г. Принимал участие в Русско-японской войне (1904–1905) в должности вахтенного начальника миноносца № 203 и крейсера «Россия», тяжело ранен в бою в Корейском проливе 1 августа 1904 г. За отличие награжден орденами Святой Анны III ст. и Святого Станислава III ст. с мечами и бантом. В Первую мировую войну участвовал в боях на Балтике. В 1914–1915 гг. командовал эсминцем «Москвитянин». 20 мая 1914 г. награжден орденом Святой Анны II степени с пожалованием 1 июня 1915 г. мечей к нему. На 1 марта 1917 г. – командир миноносца «Капитан Изыльметьев». С июня 1917 г. командир линкора «Полтава». После Октябрьской революции 1917 г. перешел на сторону советской власти и остался на своем посту. Участвовал в Ледовом походе Балтийского флота 1918 года. С июля 1918 г. начальник 1-й бригады линкоров, а с января 1919 г. – начальник штаба Балтийского флота. С 1920 г. начальник Морских сил Черного и Азовского морей. В 1921–1925 гг. начальник Морского штаба Республики (с 1922 г. – СССР), помощник начальника курсов усовершенствования командного состава флота (1925–1926) и Военно-морской академии (1926–1928). С 1935 г. преподавал в Ленинградском электротехническом институте. В 1938 г. репрессирован и осужден на 5-летнюю ссылку в Якутию. В 1943 г. поселился в Курске, где работал инженером-экономистом в «Облсельпроекте». В 1948 г. вернулся в Ленинград. В г. Рыльске его именем названа улица. В Курске, на административном здании по адресу: Красная площадь, 6, установлена мемориальная доска в честь А. В. Домбровского.
Труды
- Русские моряки в Мессине в 1908 г. = Русские моряки в Мессине в тысяча девятьсот восьмом году. Доступ Национальная электронная библиотека, каталог https://rusneb.ru/catalog/000199_000009_004188899/
Увековечение памяти
Мемориальная доска А. В. Домбровскому установлена в Курске по адресу Красная площадь, дом 6. Надпись на доске: «В этом здании в 1943—1948 гг. работал А. В. Домбровский 1882-1952, выдающийся деятель ВМФ России, активный участник Русско-японской войны 1904-1905 гг., кавалер именного золотого оружия, начальник Морских сил Черного и Азовского морей 1920 г.».
Именем А. В. Домбровского названа улица в Рыльске.
В Рыльском краеведческом музее имеется постоянная экспозиция, посвященная ему.
Мемориальная доска А. В. Домбровскому установлена в Рыльске на фасаде средней школы № 1 имени Г. И. Шелихова (в этом здании располагалась Рыльская мужская прогимназия, которую окончил А. В. Домбровский).
В Санкт-Петербурге мемориальная доска установлена в 1990 на доме, где в 1925–1938 жил А. В. Домбровский ((Захарьевская улица, дом 9).
